Stochastik

Aufgabe III 1

Betrachtet wird ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von Formula: 1 bis Formula: 6 durchnummeriert sind. Bei einem Zufallsexperiment wird dieser Würfel viermal geworfen. Die erzielten Zahlen werden in der geworfenen Reihenfolge als Ergebnis notiert.

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

	„Bei keinem der Würfe wird die Zahl erzielt.“
	„Bei mindestens drei Würfen wird eine Zahl erzielt, die größer als ist.“

4 BE

Begründe, dass es $Formula: \binom{6}{4} \cdot 4!$ $Formula: \binom{6}{4} \cdot 4!$ Ergebnisse gibt, bei denen alle erzielten Zahlen verschieden sind.

2 BE

Gib ein Ereignis im Sachzusammenhang an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac{\tbinom{6}{4} \cdot 4!}{6^4}$ $Formula: 1-\tfrac{\tbinom{6}{4} \cdot 4!}{6^4}$ berechnet werden kann.

2 BE

Bei einem Spiel besteht eine Runde darin, dass der Würfel fünfmal geworfen wird. Eine Runde wird gewonnen, wenn dabei mindestens eine Zahl mehrfach auftritt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Runde gewonnen wird, beträgt $Formula: \tfrac{49}{54}.$ $Formula: \tfrac{49}{54}.$ Dieses Spiel soll nun von einer Künstlichen Intelligenz (KI) simuliert werden. Die Zufallsgröße Formula: Y beschreibt dabei die Anzahl der gewonnenen Runden. Es wird davon ausgegangen, dass binomialverteilt ist. Zur Überprüfung der KI soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Runde gewonnen wird, beträgt mindestens $Formula: \tfrac{49}{54}.$ $Formula: \tfrac{49}{54}.$ “ getestet werden. Der Stichprobenumfang beträgt Formula: 200 Runden. Es ergibt sich $Formula: \{0 ; \ldots ; 173 ; 174\}$ $Formula: \{0 ; \ldots ; 173 ; 174\}$ als Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

Formuliere den zugehörigen Fehler erster Art im Sachzusammenhang.

2 BE

Untersuche, ob das zugrundeliegende Signifikanzniveau des Tests $Formula: 8\,\%$ $Formula: 8\,\%$ betragen kann.

2 BE

Beurteile die folgende Aussage:

„Wenn die Nullhypothese nicht wahr ist, dann beträgt in jedem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Stichprobe mindestens Formula: 180 Treffer enthält, höchstens $Formula: 20\,\%.$ $Formula: 20\,\%.$ “

2 BE

Ein weiteres Spiel wird mit einem Zufallsgenerator simuliert. Die Gewinnwahrscheinlichkeit kann dabei auf jeden beliebigen Wert Formula: p mit $Formula: 0 \leq p \leq 1$ $Formula: 0 \leq p \leq 1$ eingestellt werden. Bei Formula: n -maligem Spielen ist die Anzahl Formula: Z der gewonnenen Spiele binomialverteilt mit den Parametern und Formula: p. Für einen bestimmten Wert von gehört einer der beiden Graphen in der Abbildung zu der Funktion, die jedem Wert von die Wahrscheinlichkeit $Formula: P_p^n(Z \leq 2)$ $Formula: P_p^n(Z \leq 2)$ zuordnet.

Diagramm mit zwei fallenden Kurven I und II in einem Koordinatensystem.

Begründe, dass Graph II nicht zur oben beschriebenen Funktion gehört.

2 BE

Ermittle mithilfe der Abbildung den Wert von Formula: n.

4 BE

Aufgabe III 2

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Masse eines Eisbär-Babys bei der Geburt. Sie wird als normalverteilt mit $Formula: \mu_X=650$ $Formula: \mu_X=650$ und $Formula: \sigma_X=40$ $Formula: \sigma_X=40$ angenommen (alle Werte in Gramm).

Ein Eisbär-Baby wird zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass seine Masse bei der Geburt um weniger als $Formula: 20\;\text{g}$ $Formula: 20\;\text{g}$ vom Erwartungswert abweicht.

2 BE

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $Formula: 5 \cdot P(X<600)^4 \cdot P(X \geq 600)$ $Formula: 5 \cdot P(X<600)^4 \cdot P(X \geq 600)$ berechnet werden kann, und gib dieses Ereignis an.

3 BE

Eisbären sind bei ihrer Geburt nicht nur sehr leicht, sondern auch klein. Nur $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ der Eisbär-Babys sind bei der Geburt größer als $Formula: 40\;\text{cm}.$ $Formula: 40\;\text{cm}.$ Von den Eisbär-Babys, die bei der Geburt größer als $Formula: 40\;\text{cm}$ $Formula: 40\;\text{cm}$ sind, wiegen $Formula: 75\,\%$ $Formula: 75\,\%$ mehr als $Formula: 700\;\text{g}.$ $Formula: 700\;\text{g}.$

Für ein zufällig ausgewähltes Eisbär-Baby werden die folgenden Ereignisse betrachtet:

	„Das Eisbär-Baby ist bei der Geburt größer als $Formula: 40\;\text{cm}.$ $Formula: 40\;\text{cm}.$ “
	„Das Eisbär-Baby wiegt bei der Geburt mehr als $Formula: 700\;\text{g}.$ $Formula: 700\;\text{g}.$ “

Das nebenstehende Baumdiagramm stellt diesen Sachverhalt dar. Gib die Werte von Formula: u und Formula: v an.

Geometrische Darstellung eines Baumdiagramms mit Knoten und Verzweigungen.

2 BE

Unter den Eisbär-Babys, die bei der Geburt höchstens $Formula: 40\;\text{cm}$ $Formula: 40\;\text{cm}$ groß sind, wiegt nur ein kleiner Teil bei der Geburt mehr als $Formula: 700\;\text{g}.$ $Formula: 700\;\text{g}.$ Bestimme diesen Anteil.

4 BE

Braunbären sind bei der Geburt im Durchschnitt leichter als Eisbären. Die Zufallsgröße Formula: Y beschreibt die Masse eines Braunbär-Babys bei der Geburt. Sie ist normalverteilt mit dem Erwartungswert $Formula: \mu_Y$ $Formula: \mu_Y$ und der Standardabweichung $Formula: \sigma_Y=25$ $Formula: \sigma_Y=25$ (alle Werte in Gramm).

Ein Braunbär-Baby wird zufällig ausgewählt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass seine Masse bei der Geburt um höchstens $Formula: 10\;\text{g}$ $Formula: 10\;\text{g}$ vom Erwartungswert abweicht. Begründe, dass man zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit den Wert von $Formula: \mu_Y$ $Formula: \mu_Y$ nicht kennen muss.

2 BE

Eine der Abbildungen zeigt die Graphen der Dichtefunktionen von Formula: X und Formula: Y.

Zwei Glockenkurven in einem Koordinatensystem, eine durchgezogen und eine gestrichelt.

Zwei Glockenkurven, eine durchgezogen und eine gestrichelt, auf einem Koordinatensystem.

Gib diese Abbildung an und begründe deine Angabe.

2 BE

Die Masse eines Panda-Babys bei der Geburt wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert $Formula: 110\;\text{g}$ $Formula: 110\;\text{g}$ angenommen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Panda-Baby bei der Geburt weniger als $Formula: 100\;\text{g}$ $Formula: 100\;\text{g}$ wiegt, beträgt $Formula: 30\,\%.$ $Formula: 30\,\%.$

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von vier zufällig ausgewählten Panda-Babys bei der Geburt genau eines weniger als $Formula: 100\;\text{g}$ $Formula: 100\;\text{g}$ und genau eines mehr als $Formula: 120\;\text{g}$ $Formula: 120\;\text{g}$ wiegt.

5 BE

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Lösung III 1

$Formula: \begin{array}{rlll} P(A)&=& \left(\dfrac{5}{6}\right)^4\\[5pt] &\approx& 0,4822 \\[5pt] &=&48,22\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(A)&=& \left(\dfrac{5}{6}\right)^4\\[5pt] &\approx& 0,4822 \\[5pt] &=&48,22\,\% \end{array}$

Bei einem Wurf eine Zahl größer als Formula: 2 zu würfeln hat die Wahrscheinlichkeit $Formula: \tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3}.$ $Formula: \tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3}.$ Somit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P(B)&=& 4\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^3\cdot\tfrac{1}{3}+\left(\tfrac{2}{3}\right)^4 \\[5pt] &\approx& 0,5926 \\[5pt] &=&59,26\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(B)&=& 4\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^3\cdot\tfrac{1}{3}+\left(\tfrac{2}{3}\right)^4 \\[5pt] &\approx& 0,5926 \\[5pt] &=&59,26\,\% \end{array}$

Für die vier verschiedenen Zahlen gibt es genau $Formula: \tbinom{6}{4}$ $Formula: \tbinom{6}{4}$ Möglichkeiten. Die Anzahl der Möglichkeiten, diese auf unterschiedliche Weise den vier Würfen zuzuordnen, beträgt Formula: 4!. Damit ergibt sich insgesamt der Term $Formula: \tbinom{6}{4}\cdot4!$ $Formula: \tbinom{6}{4}\cdot4!$ für die Anzahl der Möglichkeiten.

„Mindestens zwei geworfene Zahlen sind gleich.“

Obwohl die Wahrscheinlichkeit für einen Rundengewinn bei der Simulation tatsächlich mindestens $Formula: \tfrac{49}{54}$ $Formula: \tfrac{49}{54}$ beträgt, erzielt die KI in den Formula: 200 Runden höchstens Formula: 174 Siege und es wird fälschlicherweise Schluss gefolgert, dass die KI die Vorgabe nicht erfüllt.

Es wird davon ausgegangen, dass Formula: Y binomialverteilt mit Formula: n=200 und $Formula: p=\tfrac{49}{54}$ $Formula: p=\tfrac{49}{54}$ ist. Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} P(Y \leq 174) &\approx& 0,0494 \\[5pt] P(Y \leq 175) &\approx& 0,0766 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(Y \leq 174) &\approx& 0,0494 \\[5pt] P(Y \leq 175) &\approx& 0,0766 \end{array}$

Wäre das zugrunde liegende Signifikanzniveau $Formula: \alpha=8\,\%,$ $Formula: \alpha=8\,\%,$ so würde auch das Ergebnis Formula: 175 zum Ablehnungsbereich gehören, da $Formula: P(Y \leq 175) \leq 0,08$ $Formula: P(Y \leq 175) \leq 0,08$ erfüllt ist. Das Signifikanzniveau ist somit nicht $Formula: 8\,\%.$ $Formula: 8\,\%.$

Mit $Formula: p=0,9<\tfrac{49}{54}$ $Formula: p=0,9<\tfrac{49}{54}$ ist Formula: H_0 nicht wahr. Mit diesem Parameter ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit für mindestens Formula: 180 Treffer der folgende Wert:

$Formula: \begin{array}{rlll} P(Y \geq 180)&=&1-P(Y \leq 179) \\[5pt] &\approx&0,5592 \\[5pt] &=& 55,92\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(Y \geq 180)&=&1-P(Y \leq 179) \\[5pt] &\approx&0,5592 \\[5pt] &=& 55,92\,\% \end{array}$

Da $Formula: 55,92\,\%>20\,\%$ $Formula: 55,92\,\%>20\,\%$ ist, gilt die Behauptung nicht für alle Fälle, in denen Formula: H_0 falsch ist.

Für Formula: p=0 wird bei Formula: n Spielen mit Sicherheit genau Null Mal gewonnen. Das Ereignis $Formula: Z \leq 2$ $Formula: Z \leq 2$ tritt somit sicher, also mit Wahrscheinlichkeit Formula: 1, ein. Da Graph II nicht durch den Punkt $Formula: (0\mid1)$ $Formula: (0\mid1)$ verläuft, gehört er damit nicht zu der in der Aufgabenstellung beschriebenen Funktion.

Aus dem Graph I kann abgelesen werden, dass $Formula: P(Z\leq 2)=0,5$ $Formula: P(Z\leq 2)=0,5$ gilt. Da die Binomialverteilung symmetrisch ist, muss die Menge $Formula: \{0;1;2\}$ $Formula: \{0;1;2\}$ somit genau die Hälfte der möglichen Ergebnisse darstellen. Damit folgt Formula: n=2+3=5.

Lösung III 2

$Formula: \begin{array}{rlll} P(630\lt X\lt 670)&\approx&0,3829 \\[5pt] &=&38,29\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(630\lt X\lt 670)&\approx&0,3829 \\[5pt] &=&38,29\,\% \end{array}$

Es werden jeweils fünf Eisbär-Babys zufällig ausgewählt und deren Gewicht bei Geburt überprüft. Das beschriebene Ereignis ist, dass genau eines mindestens $Formula: 600\;\text{g}$ $Formula: 600\;\text{g}$ schwer ist.

$Formula: \begin{array}{rlll} u&=&0,95 \\[5pt] v&=&0,75 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} u&=&0,95 \\[5pt] v&=&0,75 \end{array}$

Für die insgesamte Wahrscheinlichkeit, dass ein Eisbär-Baby mehr als $Formula: 700\;\text{g}$ $Formula: 700\;\text{g}$ wiegt, gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P(X\gt700)&\approx&0,1056 \\[5pt] &=&10,56\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(X\gt700)&\approx&0,1056 \\[5pt] &=&10,56\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit $Formula: P(L\cap M)$ $Formula: P(L\cap M)$ ergibt sich mit dem Baumdiagramm wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P(L\cap M)&=&0,05\cdot0,75 \\[5pt] &=&0,0375 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(L\cap M)&=&0,05\cdot0,75 \\[5pt] &=&0,0375 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} P\left(\overline{L}\cap M\right)+P(L\cap M)&=&P(X\gt700) &\quad\scriptsize\mid\;-P(L\cap M) \\[5pt] P\left(\overline{L}\cap M\right)&=&0,1056-0,0375 \\[5pt] P\left(\overline{L}\cap M\right)&=&0,0681 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P\left(\overline{L}\cap M\right)+P(L\cap M)&=&P(X\gt700) &\quad\scriptsize\mid\;-P(L\cap M) \\[5pt] P\left(\overline{L}\cap M\right)&=&0,1056-0,0375 \\[5pt] P\left(\overline{L}\cap M\right)&=&0,0681 \end{array}$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} P_{\overline{L}}(M)&=&\dfrac{P\left(\overline{L}\cap M\right)}{P\left(\overline{L}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,0681}{0,95} \\[5pt] &\approx&0,0717 \\[5pt] &=&7,17\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P_{\overline{L}}(M)&=&\dfrac{P\left(\overline{L}\cap M\right)}{P\left(\overline{L}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,0681}{0,95} \\[5pt] &\approx&0,0717 \\[5pt] &=&7,17\,\% \end{array}$

Durch die Standardisierung $Formula: Z=\tfrac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}$ $Formula: Z=\tfrac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}$ der Zufallsvariable Formula: Y kann der gesuchte Wert berechnet werden. Dabei ergibt sich folgende Gleichung:

$Formula: P\left(\mu_Y-10 \leq Y \leq \mu_Y+10\right)=P\left(\frac{-10}{\sigma_Y} \leq Z \leq \frac{10}{\sigma_Y}\right)$ $Formula: P\left(\mu_Y-10 \leq Y \leq \mu_Y+10\right)=P\left(\frac{-10}{\sigma_Y} \leq Z \leq \frac{10}{\sigma_Y}\right)$

Somit muss der Wert von $Formula: \mu_Y$ $Formula: \mu_Y$ für die Berechnung nicht bekannt sein.

Braunbären sind bei der Geburt im Durchschnitt leichter als Eisbären, d.h. es gilt $Formula: \mu_Y<\mu_X.$ $Formula: \mu_Y<\mu_X.$ Der Graph der Dichtefunktion von Formula: Y muss daher weiter links liegen als der von Formula: X. Die Standardabweichung von ist zudem kleiner als die von Formula: X, wodurch die Dichtefunktion von schmaler und höher verläuft als die von Es handelt sich somit um die rechte Abbildung.

Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Panda-Baby bei der Geburt weniger als $Formula: 100\;\text{g}$ $Formula: 100\;\text{g}$ wiegt und die Wahrscheinlichkeit, dass es mehr als $Formula: 120\;\text{g}$ $Formula: 120\;\text{g}$ wiegt, jeweils $Formula: 30\,\%$ $Formula: 30\,\%$ betragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Geburtsgewicht zwischen $Formula: 100\;\text{g}$ $Formula: 100\;\text{g}$ und $Formula: 120\;\text{g}$ $Formula: 120\;\text{g}$ liegt, beträgt somit die restlichen $Formula: 40\,\%.$ $Formula: 40\,\%.$ Die vier Panda-Babys mit passenden Geburtsgewichten können auf verschiedene Wege untereinander angeordnet werden. Damit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}{rlll} P&=&12\cdot0,3\cdot0,3\cdot(0,4)^2 \\[5pt] &=&0,1728 \\[5pt] &=&17,28\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P&=&12\cdot0,3\cdot0,3\cdot(0,4)^2 \\[5pt] &=&0,1728 \\[5pt] &=&17,28\,\% \end{array}$

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