Wahlaufgaben

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten differenzierbaren Funktion Formula: f, die genau zwei Nullstellen hat: Formula: -1,5 und Formula: 0. Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Integralfunktion Formula: J mit $Formula: J(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\;\mathrm d t.$ $Formula: J(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\;\mathrm d t.$

Beurteile die folgende Aussage:

Formula: J hat genau zwei Nullstellen.

Graph einer Kurve im Koordinatensystem mit Hochpunkt und waagerechter Asymptote.

5 BE

Gegeben ist eine in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit der Wertemenge Formula: [−3; 2[.

Begründe, dass der Graph von Formula: f nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

1 BE

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h mit $Formula: h(x) = −2 \cdot f(x − 5) + 1.$ $Formula: h(x) = −2 \cdot f(x − 5) + 1.$

Gib die Wertemenge von Formula: h an und begründe die Angabe.

4 BE

Betrachtet werden die Dreiecke Formula: AB_s C_t mit $Formula: A(0\mid0\mid 0), B_s(4 s\mid3s\mid0)$ $Formula: A(0\mid0\mid 0), B_s(4 s\mid3s\mid0)$ und $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ mit $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$ $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$

Begründe, dass jedes Dreieck Formula: AB_sC_t im Punkt rechtwinklig ist.

2 BE

Zu jedem Wert von Formula: s gibt es einen Wert von Formula: t, so dass das Dreieck Formula: A B_s C_t gleichschenklig ist. Zeige, dass die zugehörigen Punkte $Formula: (s \mid t)$ $Formula: (s \mid t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Gerade liegen.

3 BE

Der Punkt $Formula: P(3\mid-1\mid 4)$ $Formula: P(3\mid-1\mid 4)$ liegt auf einer Kugel mit Mittelpunkt $Formula: M(1\mid1\mid 2).$ $Formula: M(1\mid1\mid 2).$

Bestimme den Radius der Kugel.

1 BE

Die Gerade Formula: g berührt die Kugel im Punkt Formula: P und schneidet die Formula: x_3 -Achse. Ermittle eine Gleichung von Formula: g.

4 BE

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Auf drei der Kugeln steht die Zahl Formula: a, auf den beiden anderen Kugeln die Zahl Formula: b. Die Summe von und ist Formula: 17. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ berechnet werden kann.

1 BE

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden entnommenen Kugeln. Der Erwartungswert von ist Formula: 16. Bestimme Formula: a und Formula: b .

4 BE

Eine normalverteilte Zufallsgröße Formula: X hat den Erwartungswert Formula: 1. Es gilt $Formula: P(X \geq 0,975)=0,7.$ $Formula: P(X \geq 0,975)=0,7.$

Begründe, dass $Formula: P(X\geq 1,025)=0,3$ $Formula: P(X\geq 1,025)=0,3$ gilt.

2 BE

Die Abbildung zeigt den Graphen der zu Formula: X gehörenden Dichtefunktion $Formula: \varphi.$ $Formula: \varphi.$

Rechteckige Fläche unter Graph einer Dichtefunktion

Die markierte Fläche unter dem Graphen von $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ und das eingezeichnete Rechteck haben den gleichen Inhalt. Zeige unter Verwendung der Abbildung, dass $Formula: \varphi(1)\gt8$ $Formula: \varphi(1)\gt8$ ist.

3 BE

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Für Formula: x=0 besitzt das Integral die gleiche untere und obere Grenze. Somit gilt Formula: J(0)=0.

Für $Formula: x\gt0$ $Formula: x\gt0$ ist der Wert von Formula: J durchgehend positiv, da Formula: -1,5 und Formula: 0 die einzigen Nullstellen von Formula: f sind. Da der Graph von für $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ zwischen Formula: x=-1,5 und Formula: x=0 oberhalb der -Achse verläuft und links von unterhalb der -Achse, ist die Flächenbilanz von für genau einen Wert $Formula: x\lt-1,5$ $Formula: x\lt-1,5$ Null.

Für $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ gibt Formula: J die negative Flächenbilanz von Formula: f an, somit existiert genau ein Wert $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ mit Formula: J(x)=0. Insgesamt hat somit genau zwei Nullstellen.

Eine Punktsymmetrie zum Ursprung würde voraussetzen, dass die Wertemenge symmetrisch zu Formula: 0 ist. Da Formula: -3 in der Wertemenge enthalten ist aber Formula: 3 nicht, kann der Graph von Formula: f nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

Wertemenge angeben

$Formula: W=\,]-3;7]$ $Formula: W=\,]-3;7]$

Angabe begründen

Der Graph von Formula: h kann aus dem Graphen von Formula: f schrittweise erzeugt werden. Dabei haben die Spiegelung an der Formula: x -Achse, die Streckung mit dem Faktor Formula: 2 in Formula: y -Richtung und die anschließende Verschiebung um Formula: 1 in positive -Richtung einen entsprechenden Einfluss auf die Wertemenge, die Verschiebung in -Richtung hat hingegen keinen Einfluss auf die Wertemenge.

Die Seite $Formula: \overline{AB_s}$ $Formula: \overline{AB_s}$ liegt in der Formula: x_1x_2 -Ebene und die Seite $Formula: \overline{AC_t}$ $Formula: \overline{AC_t}$ liegt auf der Formula: x_3 -Achse.

Es kann aus der Abbildung abgelesen werden, dass die Gerade die Gleichung Formula: t=5s hat. Für die folgenden Werte ist das Dreieck gleichschenklig:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$

Somit liegen die Punkte auf der dargestellten Geraden.

$Formula: \begin{array}{rcll} \left\vert\pmatrix{3\\-1\\4}-\pmatrix{1\\1\\2}\right\vert&=&\sqrt{2^2+(-2)^2+2^2} \\[5pt] &=&\sqrt{12} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left\vert\pmatrix{3\\-1\\4}-\pmatrix{1\\1\\2}\right\vert&=&\sqrt{2^2+(-2)^2+2^2} \\[5pt] &=&\sqrt{12} \end{array}$

Da die Gerade Formula: g die Kugel im Punkt Formula: P berührt verläuft der Richtungsvektor $Formula: \pmatrix{x_1\\ x_2\\ x_3}$ $Formula: \pmatrix{x_1\\ x_2\\ x_3}$ von orthogonal zu $Formula: \pmatrix{2\\-2\\2}.$ $Formula: \pmatrix{2\\-2\\2}.$ Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rcll} \pmatrix{2\\-2\\2}\circ\pmatrix{x_1\\ x_2\\ x_3}&=&0 \\[5pt] 2x_1-2x_2+2x_3&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \pmatrix{2\\-2\\2}\circ\pmatrix{x_1\\ x_2\\ x_3}&=&0 \\[5pt] 2x_1-2x_2+2x_3&=&0 \end{array}$

Da Formula: g durch Formula: P verläuft und die Formula: x_3 -Achse schneiden soll, ergibt sich zudem folgende Gleichung:

$Formula: \pmatrix{3\\-1\\4}+s\cdot\pmatrix{x_1\\ x_2\\ x_3}=\pmatrix{0\\ 0\\4+s\cdot x_3}$ $Formula: \pmatrix{3\\-1\\4}+s\cdot\pmatrix{x_1\\ x_2\\ x_3}=\pmatrix{0\\ 0\\4+s\cdot x_3}$

Die ersten beiden Koordinaten liefern:

$Formula: \begin{array}{rcll} 3+sx_1&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] sx_1&=&-3 &\quad\scriptsize\mid\;:s \\[5pt] x_1&=&-\dfrac{3}{s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 3+sx_1&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] sx_1&=&-3 &\quad\scriptsize\mid\;:s \\[5pt] x_1&=&-\dfrac{3}{s} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} -1+sx_2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+1 \\[5pt] sx_2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;:s \\[5pt] x_2&=&\dfrac{1}{s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} -1+sx_2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+1 \\[5pt] sx_2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;:s \\[5pt] x_2&=&\dfrac{1}{s} \end{array}$

Die Koordinate Formula: x_3 kann beliebig gewählt werden, z.B. als Formula: x_3=4. Einsetzen aller drei Werte in die Gleichung Formula: 2x_1-2x_2+2x_3=0 liefert dann:

$Formula: \begin{array}{rcll} 2\cdot\left(-\dfrac{3}{s}\right)-2\cdot\dfrac{1}{s}+2\cdot4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-8 \\[5pt] -\dfrac{8}{s}&=&-8 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot s \\[5pt] -8&=&-8s &\quad\scriptsize\mid\;:(-8) \\[5pt] 1&=&s \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 2\cdot\left(-\dfrac{3}{s}\right)-2\cdot\dfrac{1}{s}+2\cdot4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-8 \\[5pt] -\dfrac{8}{s}&=&-8 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot s \\[5pt] -8&=&-8s &\quad\scriptsize\mid\;:(-8) \\[5pt] 1&=&s \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: x_1=-3 und Formula: x_2=1. Eine mögliche Geradengleichung von Formula: g ist somit wie folgt gegeben:

$Formula: g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-1\\4}+s\cdot\pmatrix{-3\\1\\4}$ $Formula: g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-1\\4}+s\cdot\pmatrix{-3\\1\\4}$

Es wird höchstens eine Kugel mit der Zahl Formula: b entnommen.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: b=17-6=11.

Da sich alle Wahrscheinlichkeiten zu Formula: 1 aufaddieren, gilt:

$Formula: P(X\leq0,975)=1-0,7=0,3.$ $Formula: P(X\leq0,975)=1-0,7=0,3.$

Wegen der Symmetrie der Wahrscheinlichkeiten zum Erwartungswert Formula: 1 gilt somit $Formula: P(X\geq1,025)=0,3.$ $Formula: P(X\geq1,025)=0,3.$

Mit $Formula: P(X\leq0,975)=0,3$ $Formula: P(X\leq0,975)=0,3$ und $Formula: P(X\geq1,025)=0,3$ $Formula: P(X\geq1,025)=0,3$ ergibt sich der Inhalt der markierten Fläche als Formula: 1-0,3-0,3=0,4. Da das Rechteck eine Breite von Formula: 1,025-0,975=0,05 besitzt, ergibt sich somit für die Höhe:

$Formula: \begin{array}{rcll} 2\cdot\left(-\dfrac{3}{s}\right)-2\cdot\dfrac{1}{s}+2\cdot4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-8 \\[5pt] -\dfrac{8}{s}&=&-8 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot s \\[5pt] -8&=&-8s &\quad\scriptsize\mid\;:(-8) \\[5pt] 1&=&s \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 0,05\cdot h&=&0,4 &\quad\scriptsize\mid\;:0,05 \\[5pt] h&=&8 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 0,05\cdot h&=&0,4 &\quad\scriptsize\mid\;:0,05 \\[5pt] h&=&8 \end{array}$

Da der Funktionswert der Dichtefunktion beim Erwartungswert maximal wird und dieser nach der Abbildung über dem Rechteck liegt, gilt somit $Formula: \varphi(1)\gt8.$ $Formula: \varphi(1)\gt8.$

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