Analytische Geometrie

Aufgabe II 1

Die Abbildung zeigt die Pyramide Formula: ABCDS mit $Formula: A(0\mid-3\mid 0), B(4\mid-1\mid 0),$ $Formula: A(0\mid-3\mid 0), B(4\mid-1\mid 0),$ $Formula: C(4\mid1\mid 0), D(0\mid3\mid 0)$ $Formula: C(4\mid1\mid 0), D(0\mid3\mid 0)$ und $Formula: S(2\mid0\mid 4).$ $Formula: S(2\mid0\mid 4).$

Zeige, dass die Grundfläche Formula: A B C D ein Trapez ist, und berechne das Volumen der Pyramide.

4 BE

Bestimme die Größe des Winkels, den die Kanten $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$ und $Formula: \overline{CS}$ $Formula: \overline{CS}$ einschließen.

3 BE

Die Ebene Formula: L mit der Gleichung Formula: -2 x_1+x_2+4=0 schneidet die Kante $Formula: \overline{C D}$ $Formula: \overline{C D}$ im Punkt Formula: H.

Berechne die Koordinaten von Formula: H.

(zur Kontrolle: )

4 BE

Die Pyramide Formula: ABCDS wird um die Gerade Formula: CD um einen Winkel der Größe $Formula: 360^{\circ}$ $Formula: 360^{\circ}$ gedreht. Dabei durchläuft die Spitze einen Kreis.

Begründe, dass dieser Kreis in der Ebene Formula: L liegt und Formula: H der Mittelpunkt des Kreises ist.

4 BE

Der Kreis, den die Spitze der Pyramide beschreibt, hat den Radius $Formula: \sqrt{19,2}.$ $Formula: \sqrt{19,2}.$ Beurteile folgende Aussage:

Während des Drehvorgangs gibt es eine Position der Pyramide, bei der ihre Spitze die Formula: x_2 -Koordinate Formula: 5,6 hat.

5 BE

Aufgabe II 2

Abbildung 1 zeigt den Körper Formula: ABCDEF mit den Eckpunkten $Formula: A(2\mid0\mid-0,5), B(3\mid5\mid-0,5),$ $Formula: A(2\mid0\mid-0,5), B(3\mid5\mid-0,5),$ $Formula: C(-3\mid5\mid-0,5), D(-2\mid0\mid-0,5),$ $Formula: C(-3\mid5\mid-0,5), D(-2\mid0\mid-0,5),$ $Formula: E(2\mid5\mid 1)$ $Formula: E(2\mid5\mid 1)$ und $Formula: F(-2\mid5\mid1).$ $Formula: F(-2\mid5\mid1).$ Dieser stellt modellhaft eine aus dem Wasser ragende Sprungschanze für Wasserski dar. Das Viereck Formula: AEFD beschreibt den sogenannten Schanzentisch, die Formula: x_1x_2 -Ebene stellt die Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Abb. 1

Das Viereck Formula: AEFD ist ein Parallelogramm. Zeige, dass es auch ein Rechteck ist.

2 BE

Begründe, dass die Formula: x_2x_3 -Ebene eine Symmetrieebene des Körpers Formula: ABCDEF ist.

2 BE

Für eine reelle Zahl Formula: k ist der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}k \\ 3 \\ -10\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}k \\ 3 \\ -10\end{array}\right)$ ein Normalenvektor der Ebene, in der das Rechteck Formula: AEFD liegt.

Begründe ohne Rechnung, dass Formula: k=0 ist.

2 BE

Bestimme die Größe des Winkels, unter dem der Schanzentisch gegenüber der Wasseroberfläche geneigt ist.

3 BE

Der Teil des Schanzentischs, der sich oberhalb der Wasseroberfläche befindet, soll als Werbefläche genutzt werden. Die folgende Aussage stellt den ersten Schritt der Bestimmung des Flächeninhalts dieser Werbefläche dar:

Mit $Formula: \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -0,5 \end{array}\right)+ r \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1,5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -0,5 \end{array}\right)+ r \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 1,5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{array}\right)$ ergibt sich $Formula: r=\frac{1}{3}.$ $Formula: r=\frac{1}{3}.$

Gib die Bedeutung dieses Wertes $Formula: \tfrac{1}{3}$ $Formula: \tfrac{1}{3}$ für Formula: r im Sachzusammenhang an und berechne den Flächeninhalt dieser Werbefläche.

4 BE

Ein Wasserskifahrer fährt den Schanzentisch geradlinig hinauf, bis er die Kante erreicht, die im Modell der Strecke $Formula: \overline{EF}$ $Formula: \overline{EF}$ entspricht. Der anschließende Sprung beginnt an dieser Kante und endet auf der Wasseroberfläche. Insgesamt legen die Füße des Wasserskifahrers einen Weg zurück, der im Modell als Kurve in einer Ebene beschrieben werden kann, die senkrecht zur Formula: x_1x_2 -Ebene liegt und mit Formula: L bezeichnet wird. Die Ebene kann durch die Gleichung Formula: 10x_1-3x_2 = 0 dargestellt werden. Die Orte des Absprungs und des Auftreffens auf der Wasseroberfläche werden im Modell durch die Punkte Formula: V bzw. Formula: W beschrieben. In Abbildung 2 ist die Kurve in der Ebene dargestellt; die eingetragene Weite des Sprungs ist die Länge einer Strecke, die im Modell ebenfalls in der Ebene Formula: L liegt.

Schematische Flugbahn (Parabel) eines Sprungs über Wasser mit Startpunkt V, Landepunkt W und markierter Weite

Abb. 2

Beurteile, ob der Wasserskifahrer so über den Schanzentisch fährt, dass sein Weg im Modell in der Symmetrieebene des Körpers Formula: ABCDEF verläuft.

2 BE

Im gegebenen Koordinatensystem wird der beschriebene Weg beim Sprung durch die Punkte $Formula: (0,3 a\mid a \mid-0,05 \cdot(a-2,61) \cdot(a-13,39))$ $Formula: (0,3 a\mid a \mid-0,05 \cdot(a-2,61) \cdot(a-13,39))$ mit geeigneten Werten von Formula: a dargestellt. Von Interesse ist die Weite des Sprungs, die in Abbildung 2 veranschaulicht ist.

Bestimme die Weite des Sprungs auf zehntel Meter gerundet.

5 BE

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Lösung II 1

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{AD} &=&\pmatrix{0-0\\3-(-3)\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\6\\0} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{AD} &=&\pmatrix{0-0\\3-(-3)\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\6\\0} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BC} &=&\pmatrix{4-4\\1-(-1)\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\2\\0} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BC} &=&\pmatrix{4-4\\1-(-1)\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\2\\0} \end{array}$

Da $Formula: \overrightarrow{AD}=3\cdot\overrightarrow{BC}$ $Formula: \overrightarrow{AD}=3\cdot\overrightarrow{BC}$ gilt sind die beiden zugehörigen gegenüberliegenden Seiten der Grundflache parallel und es handelt es sich um ein Trapez. Für das Volumen der Pyramide ergibt sich damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V &=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot\left(6+2\right)\cdot4\cdot4 \\[5pt] &=&\dfrac{64}{3}\;[\text{VE}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V &=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot\left(6+2\right)\cdot4\cdot4 \\[5pt] &=&\dfrac{64}{3}\;[\text{VE}] \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos(\alpha) &=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{CD}\circ\overrightarrow{CS}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{CD}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{CS}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0-4\\3-1\\0-0}\circ\pmatrix{2-4\\0-1\\4-0}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0-4\\3-1\\0-0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{2-4\\0-1\\4-0}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert8-2\right\vert}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{21}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{6}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{21}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&73,0^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos(\alpha) &=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{CD}\circ\overrightarrow{CS}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{CD}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{CS}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0-4\\3-1\\0-0}\circ\pmatrix{2-4\\0-1\\4-0}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0-4\\3-1\\0-0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{2-4\\0-1\\4-0}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert8-2\right\vert}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{21}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{6}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{21}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&73,0^\circ \end{array}$

Die Kante $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$ kann für $Formula: 0\leq\mu\leq1$ $Formula: 0\leq\mu\leq1$ durch die folgende Gerade beschrieben werden:

$Formula: CD:\overrightarrow{x}:\pmatrix{0\\3\\0}+\mu\cdot\pmatrix{4\\-2\\0}$ $Formula: CD:\overrightarrow{x}:\pmatrix{0\\3\\0}+\mu\cdot\pmatrix{4\\-2\\0}$

Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung von Formula: L liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -2\cdot4\mu+3-2\mu+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-7 \\[5pt] -10\mu&=&-7 &\quad\scriptsize\mid\;:(-10) \\[5pt] \mu&=&0,7 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -2\cdot4\mu+3-2\mu+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-7 \\[5pt] -10\mu&=&-7 &\quad\scriptsize\mid\;:(-10) \\[5pt] \mu&=&0,7 \end{array}$

Da $Formula: 0\leq0,7\leq1$ $Formula: 0\leq0,7\leq1$ gilt, liegt der zugehörige Punkt tatsächlich auf der Kante und einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$Formula: \overrightarrow{OH}=\pmatrix{0\\3\\0}+0,7\cdot\pmatrix{4\\-2\\0}=\pmatrix{2,8\\1,6\\0}$ $Formula: \overrightarrow{OH}=\pmatrix{0\\3\\0}+0,7\cdot\pmatrix{4\\-2\\0}=\pmatrix{2,8\\1,6\\0}$

Die Koordinaten von Formula: H ergeben sich somit als $Formula: H(2,8\mid1,6\mid0).$ $Formula: H(2,8\mid1,6\mid0).$

Für den Normalenvektor $Formula: \overrightarrow{n}$ $Formula: \overrightarrow{n}$ aus der Ebenengleichung von Formula: L gilt:

$Formula: \overrightarrow{DC}=-2\cdot\overrightarrow{n}$ $Formula: \overrightarrow{DC}=-2\cdot\overrightarrow{n}$

Damit steht die Gerade Formula: CD senkrecht zu der Ebene Formula: L. Da $Formula: -2\cdot2+0+4=0$ $Formula: -2\cdot2+0+4=0$ gilt, liegt die Spitze Formula: S der Pyramide in Somit liegt der gesamte Kreis in und da der Mittelpunkt des Kreises damit der Schnittpunkt der Geraden mit ist, ist der Punkt Formula: H der Mittelpunkt des Kreises.

Ein solcher Punkt hat die allgemeinen Koordinaten $Formula: S'({x_1}_{S'}\mid5,6\mid {x_3}_{S'}).$ $Formula: S'({x_1}_{S'}\mid5,6\mid {x_3}_{S'}).$ Da der gesamte Kreis in der Ebene Formula: L liegt, liefert Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -2\cdot {x_1}_{S'}+5,6+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-9,6 \\[5pt] -2{x_1}_{S'}&=&-9,6 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] {x_1}_{S'}&=&4,8 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -2\cdot {x_1}_{S'}+5,6+4&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-9,6 \\[5pt] -2{x_1}_{S'}&=&-9,6 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] {x_1}_{S'}&=&4,8 \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overrightarrow{HS'}\right\vert &=&\left\vert\pmatrix{ 4,8-2,8\\5,6-1,6 \\{x_3}_{S'} }\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{2^2+4^2+{x_3}_{S'}^2} \\[5pt] &=&\sqrt{20+{x_3}_{S'}^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overrightarrow{HS'}\right\vert &=&\left\vert\pmatrix{ 4,8-2,8\\5,6-1,6 \\{x_3}_{S'} }\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{2^2+4^2+{x_3}_{S'}^2} \\[5pt] &=&\sqrt{20+{x_3}_{S'}^2} \end{array}$

Wegen $Formula: {x_3}_{S'}^2\gt0$ $Formula: {x_3}_{S'}^2\gt0$ und der Monotonie der Wurzelfunktion gilt $Formula: \sqrt{20+{x_3}_{S'}^2}\gt\sqrt{19,2}$ $Formula: \sqrt{20+{x_3}_{S'}^2}\gt\sqrt{19,2}$ und da Formula: H der Mittelpunkt des Kreises ist, bedeutet das, dass die Aussage aus der Aufgabenstellung falsch ist.

Lösung II 2

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\overrightarrow{EF}\circ\overrightarrow{EA}&=&\pmatrix{-2-2 \\ 5-5 \\ 1-1}\circ \pmatrix{2-2 \\ 0-5 \\ -0,5-1} \\[5pt] &=&-4\cdot0+0\cdot(-5)+0\cdot(-1,5) \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\overrightarrow{EF}\circ\overrightarrow{EA}&=&\pmatrix{-2-2 \\ 5-5 \\ 1-1}\circ \pmatrix{2-2 \\ 0-5 \\ -0,5-1} \\[5pt] &=&-4\cdot0+0\cdot(-5)+0\cdot(-1,5) \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Die Koordinaten der Punkte Formula: A und Formula: D unterscheiden sich nur im Vorzeichen der Formula: x_1 -Koordinate. Dies gilt ebenso für die Punktepaare Formula: E und Formula: F sowie Formula: B und Formula: C.

Die Ebene, in der das Rechteck Formula: AEFD liegt, steht senkrecht zur Formula: x_2x_3 -Ebene. Damit ist jeder Normalenvektor dieser Ebene ein Richtungsvektor der -Ebene.

Ein Normalenvektor der Formula: x_1x_2 -Ebene ist gegeben durch $Formula: \overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\0\\1}.$ $Formula: \overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\0\\1}.$ Zusammen mit dem Normalenvektor $Formula: \overrightarrow{n_1}$ $Formula: \overrightarrow{n_1}$ der Ebene aus Teilaufgabe c) ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_1}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\circ\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{10}{\sqrt{109}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{109}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&16,7^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_1}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\circ\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{10}{\sqrt{109}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{109}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&16,7^\circ \end{array}$

Bedeutung des Wertes angeben

Für $Formula: r=\tfrac{1}{3}$ $Formula: r=\tfrac{1}{3}$ ergibt sich, dass ein Drittel der Kante des Schanzentischs, die durch die Strecke $Formula: \overline{AE}$ $Formula: \overline{AE}$ beschrieben wird, sich im Wasser befindet.

Flächeninhalt berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\overrightarrow{EF}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{EA}\right\vert\\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\pmatrix{-4\\0\\0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\-5\\-1,5}\right\vert\\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot4\cdot\sqrt{27,25} \\[5pt] &\approx&13,92\;[\text{m}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\overrightarrow{EF}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{EA}\right\vert\\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\pmatrix{-4\\0\\0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\-5\\-1,5}\right\vert\\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot4\cdot\sqrt{27,25} \\[5pt] &\approx&13,92\;[\text{m}^2] \end{array}$

Da Formula: L nicht mit der Formula: x_2x_3 -Ebene übereinstimmt, ist dies nicht der Fall.

Nullsetzen der Formula: x_3 -Koordinate der Punkte liefert mit dem Satz des Nullprodukts:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} a_1&=&2,61 \\[5pt] a_2&=&13,39 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} a_1&=&2,61 \\[5pt] a_2&=&13,39 \end{array}$

Da beim Sprung die Formula: x_2 -Koordinate wächst, gehört Formula: a_2=13,39 zum Endpunkt Formula: W des Sprungs. Damit ergibt sich $Formula: W(4,017\mid13,39\mid0).$ $Formula: W(4,017\mid13,39\mid0).$ Der Absprungpunkt Formula: V liegt auf der Kante $Formula: \overline{EF}$ $Formula: \overline{EF}$ und besitzt somit die Formula: x_2 -Koordinate Formula: x_2=a=5. Der darunterliegende Punkt auf der Wasseroberfläche hat somit die folgenden Koordinaten:

$Formula: V'(1,5\mid5\mid0)$ $Formula: V'(1,5\mid5\mid0)$

Die Weite des Sprungs ergibt sich damit wie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{V'W}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{4,017-1,5\\13,39-5\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{2,517^2+8,39^2} \\[5pt] &\approx&8,8\;[\text{m}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{V'W}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{4,017-1,5\\13,39-5\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{2,517^2+8,39^2} \\[5pt] &\approx&8,8\;[\text{m}] \end{array}$

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