Analysis

Aufgabe I 1.1

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=\tfrac{1}{4} x^3+a x^2+a x+\tfrac{1}{4}(a \in \mathbb{R}).$ $Formula: f_a(x)=\tfrac{1}{4} x^3+a x^2+a x+\tfrac{1}{4}(a \in \mathbb{R}).$ Der Graph von wird mit Formula: G_a bezeichnet. Abbildung 1 zeigt für Formula: a=0 .

Koordinatensystem mit x- und y-Achse und einer ansteigenden S-förmigen Funktionskurve (G₀)

Abb. 1

Berechne denjenigen Wert von Formula: a, für den der Punkt $Formula: (1 \mid-1)$ $Formula: (1 \mid-1)$ auf Formula: G_a liegt, und zeige, dass dieser Punkt Wendepunkt dieses Graphen ist.

5 BE

Zeige, dass es genau zwei Punkte gibt, durch die alle Graphen der Schar verlaufen, und bestimme die Koordinaten dieser beiden Punkte.

4 BE

Der Term einer Funktion der Schar kann in der Form $Formula: \tfrac{1}{4} \cdot(x+1)^3$ $Formula: \tfrac{1}{4} \cdot(x+1)^3$ angegeben werden. Der Graph dieser Funktion kann durch Verschiebungen aus Formula: G_0 erzeugt werden. Gib eine passende Möglichkeit an.

2 BE

Betrachtet werden für jeden Wert Formula: u>0 die Tangente Formula: t_u an Formula: G_0 im Punkt $Formula: P_u\left(u \mid f_0(u)\right)$ $Formula: P_u\left(u \mid f_0(u)\right)$ sowie der Punkt $Formula: Q_u(u \mid 0).$ $Formula: Q_u(u \mid 0).$ Die Tangente schneidet die Formula: x -Achse in einem Punkt, der mit bezeichnet wird. Begründe mithilfe von geeigneten Eintragungen in Abbildung 1, dass $Formula: \left|\overline{T_u Q_u}\right|=\tfrac{f_0(u)}{f_0'(u)}$ $Formula: \left|\overline{T_u Q_u}\right|=\tfrac{f_0(u)}{f_0'(u)}$ für jeden Wert Formula: u>0 gilt.

4 BE

Es gibt Kreise, deren Mittelpunkte auf der Formula: y -Achse liegen und die den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von Formula: f_0 in genau zwei Punkten berühren.

Der Punkt $Formula: A\left(1 \left\lvert\, \tfrac{3}{4}\right.\right)$ $Formula: A\left(1 \left\lvert\, \tfrac{3}{4}\right.\right)$ ist ein Berührpunkt eines solchen Kreises.

Bestimme rechnerisch die Formula: y -Koordinate des Mittelpunktes dieses Kreises.

5 BE

Aufgabe I 1.2

Betrachtet wird eine Wasserfontäne, bei der das Wasser aus einer Düse austritt. Die sich periodisch ändernde momentane Durchflussrate des Wassers an der Düse beeinflusst das Erscheinungsbild der Fontäne.

Die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h mit $Formula: h(x)=-\tfrac{\pi}{4} \cdot \cos \left(\tfrac{\pi}{3} x\right)+1$ $Formula: h(x)=-\tfrac{\pi}{4} \cdot \cos \left(\tfrac{\pi}{3} x\right)+1$ beschreibt im Folgenden für $Formula: x \geq 0$ $Formula: x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an der Düse. Dabei ist die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und die momentane Durchflussrate in Litern pro Sekunde. In Abbildung 2 ist der Graph von Formula: h dargestellt.

Koordinatensystem mit x- und y-Achse und einer sinusähnlichen Kurve mit zwei Wellenbergen und Tälern.

Abb. 2

Bestimme, wie oft die momentane Durchflussrate in der ersten Minute nach Beobachtungsbeginn ihren Maximalwert annimmt, und gib einen Zeitpunkt an, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten zunimmt.

3 BE

Berechne $Formula: \int_5^9 h(x) \;\mathrm d x$ $Formula: \int_5^9 h(x) \;\mathrm d x$ und interpretiere den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

4 BE

Betrachtet wird nun eine andere Düse, bei der sich die momentane Durchflussrate ebenfalls periodisch mit der Zeit ändert. Die maximale momentane Durchflussrate beträgt Formula: 2 Liter pro Sekunde und die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maximalwerten der momentanen Durchflussrate ist Formula: 1,5 -mal so groß wie bei der zuerst betrachteten Düse. Skizziere dazu passend in Abbildung 2 einen Graphen, der für $Formula: x \geq 0$ $Formula: x \geq 0$ eine mögliche zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers für die nun betrachtete Düse beschreibt.

3 BE

Aufgabe I 2.1

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f mit $Formula: f(t)=0,016 t \cdot \mathrm e^{-0,005 t}.$ $Formula: f(t)=0,016 t \cdot \mathrm e^{-0,005 t}.$ Für $Formula: t \geq 0$ $Formula: t \geq 0$ beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit des Horns einer Antilope ( in Tagen nach der Geburt des Tieres, in Millimeter pro Tag). Bei der Geburt des Tieres ist das Horn zwei Millimeter lang.

Abb. 1

Gib die Wachstumsgeschwindigkeit an, die das Horn Formula: 20 Tage nach der Geburt des Tieres hat.

1 BE

Es gibt einen Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit maximal ist. Berechne diesen Zeitpunkt.

4 BE

Formuliere eine Fragestellung im Sachzusammenhang, die auf die Gleichung $Formula: f(t+100)=2 \cdot f(t)$ $Formula: f(t+100)=2 \cdot f(t)$ führt.

2 BE

Die Funktion Formula: F mit $Formula: F(t)=-3,2 \cdot(200+t) \cdot \mathrm e^{-0,005 t}$ $Formula: F(t)=-3,2 \cdot(200+t) \cdot \mathrm e^{-0,005 t}$ ist eine Stammfunktion von Formula: f.

Ermittle die Länge, die das Horn Formula: 120 Tage nach der Geburt des Tieres hat.

3 BE

Bei einer anderen Antilope, die zum selben Zeitpunkt geboren wurde, lässt sich für $Formula: t \geq 0$ $Formula: t \geq 0$ die Wachstumsgeschwindigkeit des Horns durch die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: g beschreiben ( in Tagen nach der Geburt des Tieres, Formula: g(t) in Millimeter pro Tag). Bei der Geburt dieses Tieres ist das Horn ebenfalls zwei Millimeter lang. Abbildung 2 zeigt die Graphen der Funktionen Formula: f und Formula: g.

zwei Wachstumskurven im gleichen Koordinatensystem

Abb. 2

Betrachtet wird die Funktion Formula: d mit Formula: d(t)=g(t)-f(t). Gib die Anzahl der Nullstellen von im abgebildeten Bereich an und interpretiere diese Nullstellen im Sachzusammenhang.

3 BE

Beurteile die folgende Aussage:

Es gibt einen Zeitpunkt nach der Geburt der beiden Tiere, zu dem die Hörner der beiden Antilopen gleich lang sind.

2 BE

Aufgabe I 2.2

Gegeben ist für jedes Formula: a>0 eine in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h_a mit Formula: h_a(x)=x^3-15 a x^2+50 a^2 x. Der Graph Formula: G_a von verläuft durch die Punkte $Formula: O(0 \mid 0)$ $Formula: O(0 \mid 0)$ und $Formula: P_a(5a \mid 0).$ $Formula: P_a(5a \mid 0).$

Bestimme denjenigen Wert von Formula: a, für den der Punkt $Formula: (1 \mid 1)$ $Formula: (1 \mid 1)$ auf Formula: G_a liegt.

2 BE

Zeige, dass der Punkt $Formula: Q_a\left(8 a \mid 400 a^3\right)$ $Formula: Q_a\left(8 a \mid 400 a^3\right)$ auf der Tangente an Formula: G_a im Punkt Formula: O liegt.

3 BE

Bestimme denjenigen Wert von Formula: a, für den das Dreieck Formula: OP_a Q_a gleichschenklig ist.

4 BE

Aufgabe I 2.3

Weise nach, dass für die in $Formula: \mathbb{R}^{+}$ $Formula: \mathbb{R}^{+}$ definierte Funktion Formula: w mit $Formula: w(x)=\sqrt{2 x}$ $Formula: w(x)=\sqrt{2 x}$ gilt:

$Formula: w(x) \cdot w^{\prime}(x)=1$ $Formula: w(x) \cdot w^{\prime}(x)=1$

2 BE

Für die in $Formula: \mathbb{R}^{+}$ $Formula: \mathbb{R}^{+}$ zweimal differenzierbare Funktion Formula: v gilt $Formula: v(x) \cdot v^{\prime}(x)=c$ $Formula: v(x) \cdot v^{\prime}(x)=c$ mit Formula: c>0. Zeige, dass weder Extremstellen noch Wendestellen besitzt.

4 BE

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Lösung I 1.1

Wert berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(1) &=&-1 \\[5pt] \dfrac{1}{4}\cdot1^3+a\cdot1^2+a\cdot1+\dfrac{1}{4}&=&-1 \\[5pt] \dfrac{1}{2}+2a&=&-1 &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{1}{2} \\[5pt] 2a&=&-\dfrac{3}{2} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a&=&-\dfrac{3}{4} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(1) &=&-1 \\[5pt] \dfrac{1}{4}\cdot1^3+a\cdot1^2+a\cdot1+\dfrac{1}{4}&=&-1 \\[5pt] \dfrac{1}{2}+2a&=&-1 &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{1}{2} \\[5pt] 2a&=&-\dfrac{3}{2} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a&=&-\dfrac{3}{4} \end{array}$

Wendepunkt zeigen

Für die ersten drei Ableitungen gilt:

$Formula: f_a'(x)=\frac{3}{4} x^2+2 a x+a$ $Formula: f_a'(x)=\frac{3}{4} x^2+2 a x+a$

$Formula: f_a''(x)=\frac{3}{2} x+2 a$ $Formula: f_a''(x)=\frac{3}{2} x+2 a$

$Formula: f_a'''(x)=\frac{3}{2}$ $Formula: f_a'''(x)=\frac{3}{2}$

Überprüfen der notwendigen Bedingung für Wendestellen Formula: f_a''(x)=0 für $Formula: a=-\tfrac{3}{4}$ $Formula: a=-\tfrac{3}{4}$ an der Stelle Formula: x=1 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_{-\tfrac{3}{4}}''(1) &=&\dfrac{3}{2}\cdot1+2\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right) \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2} \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_{-\tfrac{3}{4}}''(1) &=&\dfrac{3}{2}\cdot1+2\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right) \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2} \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Da die dritte Ableitung stets ungleich Null ist, ist auch die hinreichende Bedingung erfüllt und der Punkt aus der Aufgabenstellung ist Wendepunkt des Graphen Formula: G_a.

Gleichsetzen der Funktionsgleichungen von $Formula: f_{a_1}$ $Formula: f_{a_1}$ und $Formula: f_{a_2}$ $Formula: f_{a_2}$ für $Formula: a_1\neq a_2$ $Formula: a_1\neq a_2$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_{a_1}(x) &=&f_{a_2}(x) \\[5pt] \dfrac{1}{4} x^3+a_1x^2+a_1x+\dfrac{1}{4}&=&\dfrac{1}{4} x^3+a_2x^2+a_2x+\dfrac{1}{4} &\quad\scriptsize\mid\;-\left(\dfrac{1}{4} x^3+\dfrac{1}{4}\right) \\[5pt] a_1x\cdot(x+1)&=&a_2x\cdot(x+1) &\quad\scriptsize\mid\;-a_2x\cdot(x+1) \\[5pt] (a_1-a_2)\cdot x\cdot (x+1)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_{a_1}(x) &=&f_{a_2}(x) \\[5pt] \dfrac{1}{4} x^3+a_1x^2+a_1x+\dfrac{1}{4}&=&\dfrac{1}{4} x^3+a_2x^2+a_2x+\dfrac{1}{4} &\quad\scriptsize\mid\;-\left(\dfrac{1}{4} x^3+\dfrac{1}{4}\right) \\[5pt] a_1x\cdot(x+1)&=&a_2x\cdot(x+1) &\quad\scriptsize\mid\;-a_2x\cdot(x+1) \\[5pt] (a_1-a_2)\cdot x\cdot (x+1)&=&0 \end{array}$

Da $Formula: a_1\neq a_2$ $Formula: a_1\neq a_2$ gilt, folgt mit dem Satz des Nullprodukts direkt Formula: x_1=-1 und Formula: x_2=0. Somit gibt es genau zwei Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen. Einsetzen der -Koordinaten in Formula: f_a(x) liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(-1) &=&\dfrac{1}{4}\cdot(-1)^3+a\cdot(-1)^2+a\cdot(-1)+\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{4}+a-a+\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(-1) &=&\dfrac{1}{4}\cdot(-1)^3+a\cdot(-1)^2+a\cdot(-1)+\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{4}+a-a+\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(0) &=&\dfrac{1}{4}\cdot0^3+a\cdot0^2+a\cdot0+\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(0) &=&\dfrac{1}{4}\cdot0^3+a\cdot0^2+a\cdot0+\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4} \end{array}$

Die gesuchten Koordinaten sind somit durch $Formula: (-1\mid0)$ $Formula: (-1\mid0)$ und $Formula: \left(0\mid\tfrac{1}{4}\right)$ $Formula: \left(0\mid\tfrac{1}{4}\right)$ gegeben.

Verschiebung um Formula: 1 in negative Formula: x -Richtung und um $Formula: \tfrac{1}{4}$ $Formula: \tfrac{1}{4}$ in negative Formula: y -Richtung.

Koordinatensystem mit zwei Kurven, Tangente, Punkten P_u, T_u, Q_u und gestrichelter Vertikalen f_0(u)

Aus der Abbildung von Formula: G_0 folgt, dass Formula: f_0'(u)>0 sowie Formula: f_0(u)>0 für jeden Wert Formula: u>0 gilt. Aus der obigen Abbildung ergibt sich:

$Formula: f_0^{\prime}(u)=\dfrac{\left|\overline{P_u Q_u}\right|}{\left|\overline{T_u Q_u}\right|}=\dfrac{f_0(u)}{\left|\overline{T_u Q_u}\right|}$ $Formula: f_0^{\prime}(u)=\dfrac{\left|\overline{P_u Q_u}\right|}{\left|\overline{T_u Q_u}\right|}=\dfrac{f_0(u)}{\left|\overline{T_u Q_u}\right|}$

Umstellen nach $Formula: \left|\overline{T_u Q_u}\right|$ $Formula: \left|\overline{T_u Q_u}\right|$ ergibt somit $Formula: \left|\overline{T_u Q_u}\right|=\dfrac{f_0(u)}{f_0^{\prime}(u)}$ $Formula: \left|\overline{T_u Q_u}\right|=\dfrac{f_0(u)}{f_0^{\prime}(u)}$ für jeden positiven Wert von Formula: u.

Die Steigung der Tangente an den Graphen von Formula: f_0' im Berührpunkt Formula: A ergibt sich wie folgt:

$Formula: f_0''(1)=\dfrac{3}{2}\cdot1+2\cdot0=\dfrac{3}{2}$ $Formula: f_0''(1)=\dfrac{3}{2}\cdot1+2\cdot0=\dfrac{3}{2}$

Die Steigung der Normalen im Punkt Formula: A ist durch den negativen Kehrwert der Steigung der Tangente gegeben. Damit ergibt sich zunächst die Gleichung $Formula: y=-\dfrac{2}{3}x+n.$ $Formula: y=-\dfrac{2}{3}x+n.$ Einsetzen der Koordinaten von liefert für Formula: n:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{4} &=&-\dfrac{2}{3}+n &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{2}{3}\\[5pt] \dfrac{17}{12}&=&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{4} &=&-\dfrac{2}{3}+n &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{2}{3}\\[5pt] \dfrac{17}{12}&=&n \end{array}$

Da der Mittelpunkt des Kreises auf der Formula: y -Achse und auf der Normalen liegt, ergibt sich die -Koordinate des Mittelpunkts somit als $Formula: \tfrac{17}{12}.$ $Formula: \tfrac{17}{12}.$

Lösung I 1.2

Aus der Abbildung ergibt sich die Periode von Formula: h als Formula: 6. Somit nimmt die momentane Durchflussrate in der ersten Minute nach Beobachtungsbeginn $Formula: \tfrac{60}{6}=10$ $Formula: \tfrac{60}{6}=10$ Mal ihren Maximalwert an. Ein Zeitpunkt, zu dem die momentane Zuflussrate am stärksten zunimmt, kann aus der Abbildung als $Formula: 1,5\;\text{s}$ $Formula: 1,5\;\text{s}$ nach Beobachtungsbeginn abgelesen werden.

Integral berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_5^9 h(x) \;\mathrm d x &=&\displaystyle\int_5^9 \left(-\dfrac{\pi}{4} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{3} x\right)+1\right) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&\left[-\dfrac{3}{4} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{3} x\right)+x\right]_5^9 \\[5pt] &=&-\dfrac{3}{4} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\cdot9\right)+9-\left(-\dfrac{3}{4} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\cdot5\right)+5\right) \\[5pt] &\approx&3,35 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_5^9 h(x) \;\mathrm d x &=&\displaystyle\int_5^9 \left(-\dfrac{\pi}{4} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{3} x\right)+1\right) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&\left[-\dfrac{3}{4} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{3} x\right)+x\right]_5^9 \\[5pt] &=&-\dfrac{3}{4} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\cdot9\right)+9-\left(-\dfrac{3}{4} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\cdot5\right)+5\right) \\[5pt] &\approx&3,35 \end{array}$

Wert im Sachzusammenhang interpretieren

Im Zeitraum von fünf bis neun Sekunden nach Beobachtungsbeginn treten etwa Formula: 3,35 Liter Wasser an der Düse aus.

Kartesisches Koordinatensystem mit x- und y-Achse und zwei sinusförmigen Kurven (durchgezogen und gestrichelt).

Lösung I 2.1

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(20)&=&0,016\cdot20 \cdot \mathrm{e}^{-0,005\cdot20} \\[5pt] &\approx&0,29\;\left[\dfrac{\text{mm}}{\text{d}}\right] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(20)&=&0,016\cdot20 \cdot \mathrm{e}^{-0,005\cdot20} \\[5pt] &\approx&0,29\;\left[\dfrac{\text{mm}}{\text{d}}\right] \end{array}$

Für die erste Ableitung von Formula: f folgt mit der Produktregel:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(t)&=&0,016\cdot\mathrm e^{-0,005t}+0,016t\cdot(-0,005)\cdot\mathrm e^{-0,005t} \\[5pt] &=&(0,016-0,00008t)\cdot\mathrm e^{-0,005t} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(t)&=&0,016\cdot\mathrm e^{-0,005t}+0,016t\cdot(-0,005)\cdot\mathrm e^{-0,005t} \\[5pt] &=&(0,016-0,00008t)\cdot\mathrm e^{-0,005t} \end{array}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f'(t)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(t)&=&0 \\[5pt] (0,016-0,00008t)\cdot\mathrm e^{-0,005t}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(t)&=&0 \\[5pt] (0,016-0,00008t)\cdot\mathrm e^{-0,005t}&=&0 \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0,016-0,00008t&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot12500\\[5pt] 200-t&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+t \\[5pt] 200&=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0,016-0,00008t&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot12500\\[5pt] 200-t&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+t \\[5pt] 200&=&t \end{array}$

Da in der Aufgabenstellung gegeben ist, dass die Funktion eine Hochstelle besitzt, kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen verzichtet werden. Der Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit maximal ist, ist somit Formula: 200 Tage nach der Geburt erreicht.

„Mit welcher Gleichung kann ein Zeitpunkt berechnet werden, zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit exakt halb so schnell ist wie genau Formula: 100 Tage später?“

Für die gesuchte Länge Formula: l des Horns ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} l&=&2+F(120)-F(0) \\[5pt] &=&642-1024 \cdot \mathrm e^{-0,6} \\[5pt] &\approx&80,02\;[\text{mm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} l&=&2+F(120)-F(0) \\[5pt] &=&642-1024 \cdot \mathrm e^{-0,6} \\[5pt] &\approx&80,02\;[\text{mm}] \end{array}$

Anzahl der Nullstellen angeben

Die Funktion Formula: d hat zwei Nullstellen im abgebildeten Bereich.

Nullstellen interpretieren

Die erste Nullstelle liegt bei Formula: t=0, da dort Formula: f und Formula: g zum ersten Mal den gleichen Funktionswert besitzen. Bei Geburt besitzen somit beide Antilopen die gleiche Wachstumsgeschwindigkeit ihrer Hörner. Die zweite Nullstelle tritt auf, da das Horn der Antilope, dessen Wachstum durch die Funktion gegeben ist, nach Geburt zunächst schneller wächst, auf lange Sicht jedoch langsamer als das Horn der anderen Antilope. Somit besitzen beiden Antilopen an einer Stelle dazwischen ebenfalls eine gleichschnelle Wachstumsgeschwindigkeit ihrer Hörner.

Da beide Hörner bei Geburt gleichlang sind und das Horn der Antilope, dessen Wachstumsgeschwindigkeit durch die Funktion Formula: g gegeben ist, bis zur zweiten Nullstelle von Formula: d zunächst schneller wächst sowie danach für immer langsamer als das andere Horn, existiert ein Zeitpunkt nach der Geburt zu dem beide Hörner wieder gleichlang sind. Somit stimmt die Aussage.

Lösung I 2.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h_a(1)&=&1 \\[5pt] 1^3-15a\cdot1^2+50a^2\cdot1&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] 50a^2-15a&=&0 \\[5pt] a\cdot(50a-15)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h_a(1)&=&1 \\[5pt] 1^3-15a\cdot1^2+50a^2\cdot1&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] 50a^2-15a&=&0 \\[5pt] a\cdot(50a-15)&=&0 \end{array}$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgt Formula: a_1=0 und weiter:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 50a_2-15&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+15 \\[5pt] 50a_2&=&15 &\quad\scriptsize\mid\;:50 \\[5pt] a_2&=&\dfrac{3}{10} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 50a_2-15&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+15 \\[5pt] 50a_2&=&15 &\quad\scriptsize\mid\;:50 \\[5pt] a_2&=&\dfrac{3}{10} \end{array}$

Für die erste Ableitung von Formula: h_a ergibt sich:

Formula: h_a'(x)=3x^2-30ax+50a^2

Somit folgt für die Steigung der Tangente:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h_a'(0)&=&3\cdot0^2-30a\cdot0+50a^2 \\[5pt] &=&50a^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h_a'(0)&=&3\cdot0^2-30a\cdot0+50a^2 \\[5pt] &=&50a^2 \end{array}$

Da die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, ergibt sich die Tangentengleichung Formula: t(x)=50a^2x. Einsetzen der Koordinaten von Formula: Q_a liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 400a^3&=&50a^2\cdot8a \\[5pt] 400a^3&=&400a^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 400a^3&=&50a^2\cdot8a \\[5pt] 400a^3&=&400a^3 \end{array}$

Damit liegt der Punkt Formula: Q_a auf der Tangente.

Gleichsetzen der Längen der Dreieckskanten $Formula: \overline{OP_a}$ $Formula: \overline{OP_a}$ und $Formula: \overline{P_aQ_a}$ $Formula: \overline{P_aQ_a}$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overline{OP_a}\right\vert&=&\left\vert\overline{P_aQ_a}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(5a)^2}&=&\sqrt{(3a)^2+(400a^3)^2} &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 25a^2&=&9a^2+160000a^6 &\quad\scriptsize\mid\;-9a^2\\[5pt] 16a^2&=&160000a^6 &\quad\scriptsize\mid\;:a^2\\[5pt] 16&=&160000a^4 &\quad\scriptsize\mid\;:160000\\[5pt] \dfrac{1}{10000}&=&a^4 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt[4]{\;} \\[5pt] \dfrac{1}{10}&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overline{OP_a}\right\vert&=&\left\vert\overline{P_aQ_a}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(5a)^2}&=&\sqrt{(3a)^2+(400a^3)^2} &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 25a^2&=&9a^2+160000a^6 &\quad\scriptsize\mid\;-9a^2\\[5pt] 16a^2&=&160000a^6 &\quad\scriptsize\mid\;:a^2\\[5pt] 16&=&160000a^4 &\quad\scriptsize\mid\;:160000\\[5pt] \dfrac{1}{10000}&=&a^4 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt[4]{\;} \\[5pt] \dfrac{1}{10}&=&a \end{array}$

Somit ist das Dreieck für $Formula: a=\tfrac{1}{10}$ $Formula: a=\tfrac{1}{10}$ gleichschenklig.

Lösung I 2.3

Für die erste Ableitung von Formula: w gilt:

$Formula: w'(x)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(2x)^{-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x}}$ $Formula: w'(x)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(2x)^{-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x}}$

Damit ergibt sich:

$Formula: w(x)\cdot w'(x)=\sqrt{2x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2x}}=1$ $Formula: w(x)\cdot w'(x)=\sqrt{2x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2x}}=1$

Damit Formula: v an der Stelle Formula: x eine Extremstelle bzw. eine Wendestelle besitzt, muss Formula: v'(x)=0 bzw. Formula: v''(x)=0 gelten. Einsetzen von in die Gleichung aus der Aufgabenstellung liefert einen Widerspruch. Somit hat keine Extremstellen.

Mit der Produktregel liefert Ableiten der Gleichung aus der Aufgabenstellung außerdem:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v'(x)\cdot v'(x)+v(x)\cdot v''(x)&=&0 \\[5pt] v'(x)^2+v(x)\cdot v''(x)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v'(x)\cdot v'(x)+v(x)\cdot v''(x)&=&0 \\[5pt] v'(x)^2+v(x)\cdot v''(x)&=&0 \end{array}$

Einsetzen von Formula: v''(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v'(x)^2+v(x)\cdot 0&=&0 \\[5pt] v'(x)^2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] v'(x)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v'(x)^2+v(x)\cdot 0&=&0 \\[5pt] v'(x)^2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] v'(x)&=&0 \end{array}$

Damit ergibt sich auch hier ein Widerspruch, da Formula: v'(x)=0 an keiner Stelle gilt. Somit besitzt auch keine Wendestelle.

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