Pflichtaufgaben

Für eine Zahl Formula: k > 0 sind die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f und Formula: g mit $Formula: f(x) = 2\mathrm e^{k \cdot x}$ $Formula: f(x) = 2\mathrm e^{k \cdot x}$ und $Formula: g(x) = 2 \mathrm e^{-k \cdot x}$ $Formula: g(x) = 2 \mathrm e^{-k \cdot x}$ gegeben.

Gib an, wie der Graph von Formula: f aus dem Graphen von Formula: g erzeugt werden kann.

1 BE

Die Graphen von Formula: f und Formula: g schneiden sich senkrecht. Bestimme Formula: k.

4 BE

Die Abbildung zeigt zwei Geraden, die jeweils parallel zu einer der Koordinatenachsen verlaufen und sich im Punkt $Formula: (9\mid6)$ $Formula: (9\mid6)$ schneiden, sowie den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}_0^{+}$ $Formula: \mathbb{R}_0^{+}$ definierten Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=3 \cdot \sqrt{x}.$ $Formula: f(x)=3 \cdot \sqrt{x}.$

Grafik einer Kurve mit markierter Fläche im Koordinatensystem

Weise nach, dass $Formula: (4 \mid 6)$ $Formula: (4 \mid 6)$ der Schnittpunkt des Graphen von Formula: f mit einer der Geraden ist.

1 BE

Untersuche rechnerisch, ob der Inhalt der markierten Fläche größer als Formula: 45 ist.

4 BE

Gegeben sind die Gerade $Formula: g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ mit $Formula: t \in\mathbb{R}$ $Formula: t \in\mathbb{R}$ und die Ebene Formula: E:-2 x_1-x_2+2 x_3-2=0.

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht, und zeige, dass der Punkt $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ in liegt.

2 BE

Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand Formula: 12 hat.

3 BE

Ein Glücksrad ist in drei gleich große Sektoren unterteilt, von denen genau einer grün eingefärbt ist. Bei einem Spiel drehen Person Formula: A und Person Formula: B abwechselnd das Glücksrad. Diejenige Person, die zuerst die Farbe „Grün“ erzielt, gewinnt und das Spiel ist beendet. Hat jede der beiden Personen zweimal das Glücksrad gedreht, ohne dabei zu gewinnen, so endet das Spiel unentschieden. Person dreht das Glücksrad zuerst.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass das Spiel unentschieden endet.

1 BE

Beurteile die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Person gewinnt, beträgt das -Fache der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Person gewinnt.

4 BE

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Der Graph von Formula: f kann aus dem Graphen von Formula: g durch Spiegelung an der Formula: y -Achse erzeugt werden.

$Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x) \\[5pt] 2 \mathrm e^{k\cdot x}&=&2 \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \;: 2 \\[5pt] \mathrm e^{k \cdot x} &=& \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \; \ln \\[5pt] k \cdot x &=& -k \cdot x &\quad \scriptsize\mid \;+ kx \\[5pt] 2kx &=& 0 &\quad \scriptsize\mid \;:2k \\[5pt] x&=& 0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x) \\[5pt] 2 \mathrm e^{k\cdot x}&=&2 \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \;: 2 \\[5pt] \mathrm e^{k \cdot x} &=& \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \; \ln \\[5pt] k \cdot x &=& -k \cdot x &\quad \scriptsize\mid \;+ kx \\[5pt] 2kx &=& 0 &\quad \scriptsize\mid \;:2k \\[5pt] x&=& 0\end{array}$

Für die ersten Ableitungen von Formula: f und Formula: g gilt:

$Formula: f'(x) = 2k \mathrm e^{k \cdot x}$ $Formula: f'(x) = 2k \mathrm e^{k \cdot x}$

$Formula: g'(x) = -2k\mathrm e^{-kx}$ $Formula: g'(x) = -2k\mathrm e^{-kx}$

Einsetzen von Formula: x=0 liefert jeweils:

$Formula: f' (0) = 2k\mathrm e^{k \cdot 0} = 2k$ $Formula: f' (0) = 2k\mathrm e^{k \cdot 0} = 2k$

$Formula: g'(0) = -2k\mathrm e^{-k \cdot 0} = -2k$ $Formula: g'(0) = -2k\mathrm e^{-k \cdot 0} = -2k$

Da sich die Graphen senkrecht schneiden, muss $Formula: f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0) = -1$ $Formula: f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0) = -1$ gelten. Für $Formula: k\gt0$ $Formula: k\gt0$ folgt damit:

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0)&=&-1\\[5pt] 2k\cdot\left(-2k\right)&=&-1\\[5pt] -4k^2&=&-1&\quad\scriptsize\mid\;:(-4)\\[5pt] k^2&=&\dfrac{1}{4}&\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0)&=&-1\\[5pt] 2k\cdot\left(-2k\right)&=&-1\\[5pt] -4k^2&=&-1&\quad\scriptsize\mid\;:(-4)\\[5pt] k^2&=&\dfrac{1}{4}&\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

Da die Geraden parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen und sich im Punkt mit den Koordinaten $Formula: (9\mid6)$ $Formula: (9\mid6)$ schneiden, sind die Geraden durch Formula: x=9 und Formula: y=6 gegeben. Da der Punkt $Formula: (4\mid6)$ $Formula: (4\mid6)$ die -Koordinate Formula: 6 hat, ist er somit der Schnittpunkt des Graphen von Formula: f mit der Gerade Formula: y=6.

Da $Formula: (4\mid6)$ $Formula: (4\mid6)$ der Schnittpunkt des Graphen von Formula: f mit der horizontalen Gerade Formula: y=6 ist, ergibt sich für den Inhalt der markierten Fläche:

$Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle\int_0^4 f(x)\;\mathrm dx+\displaystyle\int_4^9 6\;\mathrm dx&=&\left[2x^\tfrac{3}{2}\right]_0^4+[6x]_4^9 \\[5pt] &=&\left(2\sqrt{4}^3-2\sqrt{0}^3\right)+(6\cdot9-6\cdot4) \\[5pt] &=&16-0+54-24\\[5pt] &=&46 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle\int_0^4 f(x)\;\mathrm dx+\displaystyle\int_4^9 6\;\mathrm dx&=&\left[2x^\tfrac{3}{2}\right]_0^4+[6x]_4^9 \\[5pt] &=&\left(2\sqrt{4}^3-2\sqrt{0}^3\right)+(6\cdot9-6\cdot4) \\[5pt] &=&16-0+54-24\\[5pt] &=&46 \end{array}$

Der Inhalt der markierten Fläche ist somit größer als Formula: 45.

Lage von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ begründen

Der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ist sowohl Richtungsvektor von Formula: g als auch Normalenvektor von Formula: E, somit steht senkrecht zu Formula: E.

Lage von $Formula: \boldsymbol{P}$ $Formula: \boldsymbol{P}$ zeigen

Einsetzen der Koordinaten von Formula: P in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$ $Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$

Somit liegt Formula: P in Formula: E.

Der Ortsvektor von Formula: g ergibt sich durch den Punkt Formula: P, der nach Teilaufgabe a) in Formula: E liegt. Für die Länge des Richtungsvektors von gilt:

$Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$ $Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$

Da der Richtungsvektor von Formula: g orthogonal zu Formula: E steht, liefert Formula: t=4 den Ortsvektor eines geeigneten Punktes:

$Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit z.B. gegeben durch $Formula: (-12\mid-2\mid6).$ $Formula: (-12\mid-2\mid6).$

$Formula: \left(\dfrac{2}{3}\right)^4$ $Formula: \left(\dfrac{2}{3}\right)^4$

Da Person Formula: A beginnt, beträgt für diese die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen $Formula: \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{13}{27}.$ $Formula: \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{13}{27}.$ Für Person Formula: B ergibt sich die folgende Gewinnwahrscheinlichkeit:

$Formula: \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{81}$ $Formula: \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{81}$

Da $Formula: 1,5=\tfrac{3}{2}$ $Formula: 1,5=\tfrac{3}{2}$ ist und $Formula: \tfrac{26}{81}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{13}{27}$ $Formula: \tfrac{26}{81}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{13}{27}$ gilt, ist die Aussage aus der Aufgabenstellung richtig.

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